教高中表侄女做不等式题的10种方法

“你先理解这5种方法，我还有5种方法”

这个题长这样：

1. 判别式

令3x+4y = k，则y = (k-3x)/4，x²+y² = 1可写成x²+((k-3x)/4)²=1，方程有解，判断判别式Δ≥0

2. 数形结合

直线3x+4y = z，即y=-3x/4 + z/4与单位圆相切时截距绝对值最大，当然我们取与圆第一象限部分相切的解

3. 三角换元

令x = cosθ，y = sinθ，则3x+4y = 3cosθ+4sinθ = 5sin(θ+φ)（用了辅助角公式，不需要知道φ具体是多少，不过这个角挺特殊，应该是53度）

4. 向量

令a = (3,4)，b = (x,y)，|b| = 1，a·b≤|a||b|

5. 柯西不等式

(x²+y²)(3²+4²)≥(3x+4y)²

6. 权方和不等式

其实跟柯西是等价的罢，只是权方和是我高中期间特别喜欢用的，姜姐的恩情还不完

x²+y² = (3x)²/9+(4y)²/16≥(3x+4y)²/(3²+4²)

7. 对偶式

(3x+4y)²+(4x-3y)² = 25

8. 齐次化

令t = y/x，3x+4y = $\sqrt{\frac{(3x+4y)^2}{x^2+y^2}}$ = $\sqrt{\frac{16t^2+24t+9}{t^2+1}}$，这里有算这个函数的最大值

令z = $\frac{16t^2+24t+9}{t^2+1}$，整理为关于z的一元二次方程：(z−16)t²−24t+(z−9)=0，判别式 Δ≥0

9. 求导

是我最喜欢的求导环节

10. 拉格朗日数乘

大学学的。令f(x,y,λ) = 3x+4y+λ(x²+y²-1)，分别求f对x，对y，对λ的偏导，令其为0，算出x=3/5，y=4/5